PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

A.      Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax² + bx + c = 0 , a ¹ 0                   a, b dan c adalah bilangan real.
a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
ax² + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x₁) (x – x₂) = 0.
Nilai x₁ dan x₂ disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x² – 4 x + 3 = 0
Jawab:    x² – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0

x = 3   atau    x = 1
Jadi, penyelesaian dari x² – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)² = q.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 6 x + 5 = 0.
Jawab:   x² – 6 x + 5 = 0
x² – 6 x + 9 – 4 = 0
x² – 6 x + 9 = 4
(x – 3)² = 4
x – 3 = 2  atau x – 3 = –2
x = 5    atau     x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
1.  Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x² + b x + c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 7x – 30 = 0.
Jawab:   x² + 7x – 30 = 0
a = 1  ,  b = 7  ,  c = – 30
x = 3   atau   x = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.
2.      Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0  dengan akar-akarnya  ,  b² – 4ac disebut diskriminan (D).
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:

1. x² + 5 x + 2 = 0

Jawab :

1. x² + 5 x + 2 = 0

a = 1  ,  b = 5  ,  c = 2
D = b² – 4ac = 5² – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata  D > 0. Jadi, persamaan x² + 5 x + 2 = 0  mempunyai dua akar real berlainan.
3.      Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

1. Persamaan kuadrat   ax² + bx + c = 0 mempunyai akar x₁ dan x₂.

ax² + bx + c = 0
x² +x + = 0
Karena  x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :
Jadi,  ,   .
Contoh:
Akar-akar x² – 3x + 4 = 0 adalah x₁ dan x₂. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:

1. x₁ + x₂ d.
2. x₁.x₂ e.   x₁³ + x₂³
3. x₁² + x₂²

Jawab:          x² – 3 x + 4 = 0  ®  a = 1  ,  b = –3  , c = 4
a.   x₁ + x₂ = 3
b.   x₁.x₂ = 4
c.   x₁² + x₂² = x₁² + x₂² +  2 x₁.x₂ – 2 x₁.x₂
= (x₁ + x₂)² – 2 x₁ x₂ = 2 (-3)² – 2 . 4 = 1
e. (x₁ + x₂)³ = x₁³ + 3 x₁² x₂ + 3 x₁ x₂² + x₂³
= x₁³ + 3 x₁ x₂ (x₁ +  x₂) + x₂³
x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3 x₁ x₂ (x₁ + x₂)
= 3³ – 3 . 4 (3)
= 27 – 36 = –9
4.     Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:
v  menggunakan perkalian faktor,
v  menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.
a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat   x² + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai
(x – x₁) (x – x₂) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x₁ dan x₂. Dengan demikian jika akar-akar
persamaan kuadrat x₁ dan x₂ maka persamaannya adalah (x – x₁) (x – x₂) = 0.
Contoh 1:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab:   (x – x₁) (x – x₂) = 0
(x – 3) (x – (-2)) = 0
(x – 3) (x + 2) = 0
x² – 3 x + 2 x – 6 = 0
x² – x – 6 = 0.
b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar
Persamaan .
Dengan menggunakan x₁ + x₂ = – dan x₁ x₂ = , maka akan diperoleh persamaan:
x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
Jawab:   x₁ + x₂ = -2 – 3 = – 5
x₁ x₂ = 6
Jadi, persamaan kuadratnya x² – (–5)x + 6 = 0   atau   x² + 5x + 6 = 0.
c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain
Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0.
Jawab:
Misal akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0 adalah x₁ dan x₂.  ®  x₁ + x₂ =  2  ,  x₁ x₂ = 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x₁ + 3 dan  q =  x₂ +3
p + q = (x₁ + 3) + (x₂ + 3)                                 p q = (x₁ + 3) (x₂ + 3)
= x₁ + x₂ + 6                                                  = x₁ x₂ + 3(x₁ + x₂) + 9
= 2 + 6 = 8                                                    = 3 + 2(2) = 9 = 18
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x² – (p + q) + pq = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x² – 8x + 18 = 0.
B.    Fungsi Kuadrat
1. Pengertian
Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax² + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan  disebut fungsi kuadrat.
Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap² + bp + c.
Contoh 1:        
Ditentukan: f(x) = x² – 6x – 7
Ditanyakan:

1. nilai pembuat nol fungsi f
2. nilai f untuk x = 0 , x = –2

Jawab:

1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x² – 6 x – 7 = 0
(x – 7) (x + 1) = 0
x = 7  atau  x = –1
Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7  dan –1
2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat
Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:
1)       f(x) = x² – 2x – 3
= x² – 2x + 1 – 4
=(x – 1)² – 4
Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)² mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)² – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.
Jadi, f(x) = x² – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.
2)       f(x) = –x² + 4x + 5
= –x² + 4x – 4 + 9
= –(x² – 4x + 4) + 9
= –(x – 2)² + 9
Nilai terbesar dari – (x – 2)² sama dengan nol untul x = 2.
Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)² + 9 adalah 0 + 9 = 9.
Jadi, f(x) = –(x – 2)² + 9 atau f(x) = –x² + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.
Sekarang perhatikan bentuk umum  f(x) = ax² + bx + c
Dengan uraian di atas, diperoleh:
Fungsi kuadrat f(x) = a x² + b x + c
Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum  untuk
Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum  untuk
Contoh:
Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x² + 4x + 7
Jawab:
f(x) = 2x² + 4x + 7  ,  a = 2  ,  b = 4  , c = 7
Nilai minimum fungsi f = 5
3. Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik fungsi kuadrat  f : x ® y = a x² + b x + c grafiknya berbentuk parabola.

• Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.
• Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.
• Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.
• Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.

Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:
1)       Titik potong grafik dengan sumbu-X.
Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, maka
a x² + b x + c = 0. Karena a x² + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D (diskriminan).
D > 0 ®  terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x₁ , 0)  dan  (x₂ , 0).
D = 0 ®   terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.
D < 0 ®  tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.
2)       Titik potong dengan sumbu-Y.
Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya (0 , c).
3)       Sumbu simetri
Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah:
4)       Titik Puncak/ Balik
Koordinat titik puncak
Catatan:

• Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x² + b x + c berbentuk parabola.
• Parabola terbuka ke atas jika a > 0.
• Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.

Contoh:
Buatlah sketsa grafik y = x² – 2x – 3  untuk x e R.
Jawab:
Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
x = 3   dan  x = –1
Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(–1 , 0)
Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0
y = 0 – 0 – 3 = – 3
Koordinat titik potongnya C(0 , –3)
Sumbu simetri, garis
Titik puncak  ® D(1 , –4)
Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik  fungsi
y = x³ – 2x – 3.
4.     Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu
a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik
Contoh:
Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).
Jawab :
Misal persamaan grafik adalah  y = a x² + b x + c
Grafik melalui titik (–1 , 0)  ®  0 = a(–1)² + b (–1) + c
0 = a – b + c ………………. (1)
Grafik melalui titik (1 , 8)  ®    8 =a (1)² + b (1) + c
8 = a + b + c ………………. (2)
Grafik melalui titik ( 2 , 6 )  ®  6 = a (2)² + b (2) + c
6 = 4 a + 2 b + c …………… (3)
Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.
(1)   a – b + c = 0 (2)    a +   b + c = 8                               a – b + c = 0
(2)   a + b + c = 8                                 (3)   4a + 2b + c = 6                            –2 – 4 + c = 0
–2b = –8                                       3a –   b = 2                                            c = 6
b = 4                                               – 3a – 4 = 2
a = –2
Jadi, fungsi kuadrat itu adalah   y = –2x² + 4x + 6.
b.      Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X
Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).
(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x² + b x + c sehingga  0= ap² + bp + c dan
0= aq² + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:
0 = a(p² – q²) + b(p – q)
b(p – q) = –a(p² – q²)
= –a(p + q) (p – q)
b = – a(p + q)
Substitusikan b = – a(p + q)   ke   ap² + bp + c = 0
ap² + (– a(p + q)) p + c = 0
ap² – ap² – pqa + c = 0
c = pqa
Untuk  b = – a(p + q)  dan  c = pqa maka
y = a x² + b x + c Û  y = ax² – a(p + q)x + pqa
= a(x² – (p + q)x + pq)
= a(x – p) (x – q)
Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !
Jawab:
Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya
y = a(x – (–5)) (x – 1)
= a(x + 5) (x – 1)
Grafik melalui titik (–3, –8), berarti
–8 = a(–3+5) (–3  – 1)
=  –8a
a = 1
Substitusikan a = 1 pada  y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh   y = x² + 4x – 5.
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x² + 4x – 5.
c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui
Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c adalah .
Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat  y = ax² + bx + c dapat
dinyatakan dengan .
Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah  y = a (x – p)² + q
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).
Jawab:
Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah  y = (x – 1)² + 3
Grafik melalui titik (0,0) berarti:
0 = a(0 – 1) + 3
0 = a + 3
a = –3
Substitusikan a = –3 pada   y = a (x – 1)² + 3 maka diperoleh
y = –3 (x – 1)² + 3
y = –3 (x² – 2x + 1) + 3
y = –3x² + 6x
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x² + 6x.
d.   Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X
Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b² – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0).
Sehingga .
Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah  .
Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)²
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !
Jawab:
Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah
y = a (x – 2)²
Grafik melalui titik (0,4) berarti :
4 = a(0 – 2)² = 4a
a = 1
Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)² atau  y = x² – 4x + 4.
Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat
Pada sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 yaitu D = b² – 4ac . Selain itu dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
Pada bagian ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :

1. jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
2. tanda-tanda fungsi kuadrat
3. garis dan parabola

b. Tanda-tanda fungsi kuadrat
Kedudukan parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan nilai diskriminan .

1. Berdasarkan tanda a

a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola terbuka ke atas).
a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola terbuka ke bawah).

1. Berdasarkan tanda D = b² – 4 a c

D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang berlainan.
D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang sama atau parabola menyinggung sumbu-X.
D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga tidak menyinggung sumbu-X.
Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai berikut:
Dengan memperhatikan gambar-gambar di atas, diperoleh kesimpulan:
Fungsi kuadrat yang dinyatakan dengan f(x) = a x² + b x + c = 0 ,  a ¹ 0.
Untuk a > 0:
1)       D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x₁) (x – x₂)
f(x) > 0 untuk x < x₁ dan x > x₂
f(x) < 0  untuk  x₁< x < x₂
2)       D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x₁)²
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x₁ maka f(x) = 0
3)       D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi
f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit positif.
Untuk  a < 0:
1)       D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x₁) (x – x₂)
f(x) < 0 untuk x < x₁ dan x > x₂
f(x) > 0  untuk  x₁< x < x₂
2)       D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :
f(x) = a (x – x₁)²
f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x₁ maka f(x) = 0
3)       D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :
f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit negatif.
Contoh 1:
Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f(x) = x² – 4 x – m + 2  definit positif.
Jawab:
f(x) = x² – 4 x – m + 2
Syarat agar fungsi kuadrat definit positif adalah  a > 0  dan  D < 0.
a = 1 bilangan positif
D = (–4)² – 4 (1) (–m + 2) = 16 + 4 m – 8
= 4 m + 8
D < 0  «  4 m + 8 < 0
m < –2
Jadi, agar f(x) = x² – 4 x – m + 2 definit positif, maka m < –2