Matematika asik: Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier

A. Sistem Persamaan Linier
Sistem Persamaan Linier Dua Variabel adalah sistem persamaan linier yang mempunyai bentuk

$\left\{\begin{matrix} a_{1}x &+ &b_{1}y &=c_{1}\\ a_{2}x&+ &b_{2}y &=c_{2} \end{matrix}\right.$

dengan $a_{1},\: b_{1},\: a_{2},\: b_{2},\: dan\: c_{1},\: c_{2}$ adalah bilangan real
B. Hubungan Dua Buah Garis Lurus(Sistem Persamaan Linier Dua Variabel)

Jika kedua garis berpotongan, maka sistem persamaan linier memiliki sebuah penyelesaian. Hal ini terjadi jika $\frac{a_{1}}{a_{2}}\neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
Jika kedua garis sejajar, maka sistem persamaan linier tidak memiliki penyelesaian. Hal ini jika $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
Jika kedua garis itu berimpit, maka memiliki tak terhingga penyelesaian. ini terjadi saat $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}= \frac{c_{1}}{c_{2}}$

Contoh ilustrasi persamaan linier dua variabel

dan

[Sumber]

$\LARGE\fbox{Contoh Soal}$ 1.Penyelesaian sistem persamaan $\left\{\begin{matrix} 3x &- & 4y &=14 \\ x& - & 2y &=6 \end{matrix}\right.$ adalah ….
Jawab:
perhatikan untuk $\left\{\begin{matrix} 3x &- & 4y &=14\: ..........1) \\ x& - & 2y &=6 \: ............2) \end{matrix}\right.$
Untuk persamaan 2) x= 6 + 2y kita substitusikan ke persamaan 1). Selanjutnya kita mendapatkan $3(6+2y)-4y=14\: \Rightarrow 18+6y-4y=14\: \Rightarrow 2y=-4\: \Rightarrow y=-2\:\: \: .....................3)$
Kemudian persamaan 3) disubstitusikan ke persamaan 2), maka akan didapatkan x = 2.
Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $x=2\: dan\: y=-2$
2. Jika diketahui x dan y memenuhi sistem persamaan $\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$ dan $\frac{1}{x}-\frac{2}{y}=8$ , maka nilai $\frac{1}{x+y}$ = ….
Jawab:
Dengan cara kurang lebih sama dengan pembahasan soal pada contoh no 1) di atas tetapi dengan gabungan eliminasi dan substitusi. Misalkan
$\begin{matrix} \frac{2}{x} &+ &\frac{1}{y} &=1&|\times 2|&\frac{4}{x}&+&\frac{2}{y}&=2 \\ \frac{1}{x}&- & \frac{2}{y} &=8&|\times 1|&\frac{1}{x}&-&\frac{2}{y}&=8\\ \end{matrix}$ —————————————————— +
$\frac{5}{x}=10\: \Rightarrow x=\frac{1}{2}\: \: dan \: \: diperoleh\: \: y=-\frac{1}{3}$ Jadi, nilai $\frac{1}{x+y}=\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=6$
3. Enam tahun yang lalu, umur Budi 4 tahun lebih muda dari seperenam umur ayahnya. Jika umur Budi sekarang 3 tahun lebih tua dari seperdelapan umur ayahnya, maka jumlah umur mereka berdua sekarang adalah ….
Jawab:
Misalkan umur Budi = x , dan umur ayahnya = y , maka persoalan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut

$(x-6)+4=\frac{1}{6}(y-6)\: \Rightarrow x=\frac{1}{6}y+1\: .........(1)$
$x-3=\frac{1}{8}y\: \Rightarrow x=\frac{1}{8}y+3\: ............(2)$

Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh $\frac{1}{6}y+1=\frac{1}{8}y+3\: \Rightarrow y=48\: \: tahun,\: dan\: ahirnya\:\: diperoleh\:\: x= 9\:\: tahun$
Jadi, jumlah umur mereka adalah 48 + 9 = 57 tahun.
C. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel
Sistem persamaan ini memiliki bentuk

$\left\{\begin{matrix} a_{1}x &+ &b_{1}y &+&c_{1}z&=d_{1} \\ a_{2}x&+ & b_{2}y &+&c_{2}z&=d_{2} \\ a_{3}x &+ &b_{3}y &+&c_{3}z&=d_{3} \end{matrix}\right.$

Untuk ketentuan yang lain kurang lebih sama seperti sistem persamaan linier dua variabel

$\LARGE\fbox{Contoh Soal}$

1. Himpunan penyelesaian sistem persaman

$\left\{\begin{matrix} x & + &y & =5 \\ y &+ &z &=6 \\ 2x&+ &y &+ &z&=4 \end{matrix}\right.$

adalah {(x,y,z)}. Nilai untuk x + y + z = ….

Jawab:

Perhatikan bahwa

$\left\{\begin{matrix} x & + &y & =5&..........(1)\\ y &+ &z &=6&...........(2)\\ 2x&+&y&+&z&=4&..........(3) \end{matrix}\right.$

Persamaan 2) disubsitusi ke persamaan 3)

$2x+6=4\: \Rightarrow x=-1\: \: .........(4)$ . Kemudian persamaan 2) dan 4) dijumlahkan. Selanjutnya kita mendapatkan $x+y+z=-1+6=5$ .

2. (OMITS SMP/MTs 2012) Ada 3 bilangan bulat. Jika masing-masing bilangan itu dipasangkan maka akan didapatkan jumlah 2006, 2010, dan 2012. Jumlah bilangan terbesar yang dimaksud adalah ….

Jawab:

Misalkan bilangan yang dimaksud adalah a, b, dan c, maka

$\left\{\begin{matrix} a & + & b &=2006 \\ b & + & c &=2010 \\ c & + & a &=2012 \end{matrix}\right.$

Selanjutnya jumlahkan ketiga persamaan tersebut di atas. Sehingga kita mendapatkan

$2(a+b+c)=6028\: \Rightarrow \: a+b+c=3014$

Maka bilangan terbesarnya adalah saat $(a+b+c)-(a+b)=3013-2006=1008=c$

(yakni persamaan ke 4) dikurangi persamaan pertama)

$\LARGE\fbox{Soal Latihan}$

Diketahui sistem persamaan $\left\{\begin{matrix} 2x & + & 3y &=13 \\ 3x & + & 4y &=19 \end{matrix}\right.$ . Nilai $x.y$ adalah ….
Penyelesaian sistem persamaan $\left\{\begin{matrix} \frac{x+5}{2} &+ & \frac{3y+9}{3} &=9 \\ \frac{2x+3y}{4}&+ &6 &=9 \end{matrix}\right.$ adalah ….
Di sebuah toko, Aziz membeli 3 buku dan 2 buah pensil seharga Rp5.200,00. Sedangkan Fatimah membeli 2 buku dan 3 pensil seharga Rp4.800,00. Harga 1 buku adalah ….
Jika jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45, maka kedua bilangan tersebut adalah ….
Sebuah bilangan terdiri dari dua angka yang besarnya 7 kali jumlah angka-angkanya. Jika kedua angka dipertukarkan, akan diperoleh bilangan baru, 18 lebih dari jumlah angka-angkanya. Bilangan yang dimaksud adalah ….
Jika pembilang dan penyebut sebuah pecahan, keduanya dikurangi 5, akan diperoleh pecahan sama dengan $\frac{1}{2}$ . Bila pembilang dan penyebut keduanya ditambah dengan 1, pecahan itu sama dengan $\frac{2}{3}$ . Pecahan yang dimaksud adalah ….
Para bola $y=ax^{2}+bx+c$ melalui titik (1,1), (-1,-5), dan (3,23). Tentukanlah nilai a, b, dan c
Jika diketahui sistem persamaan linier: $\left\{\begin{matrix} a &+ &3b &+ &2c&=6160 \\ 6a& + &2b &=7680 \\ 6c&+ & 3d &=8820 \end{matrix}\right.$

Sumber Referensi

Enung, Untung. 2009. Mandiri Matematika SMAjilid 1 Untuk Kelas X. Jakarta: Erlangga.
Sukino. 2004. Persiapan Menghadapi Olimpiade Matematika Tingkat SMP Seri B. Jakarta: BSD MIPA.

D. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Perhatikan ilustrasi soal berikut
Misalkan suatu ketika seseorang sebut saja pak Ahmad berencana membangun 2 tipe rumah, yaitu, tipe A dan tipe B di atas sebidang tanah seluas 10.000 $m^{2}$ . Setelah ditanyakan kepada seorang arsitek ternyata untuk membangun rumah tipe A dibutuhkan tanah seluas 100 $m^{2}$ dan untuk rumah tipe B dibutuhkan tanah seluas 75 $m^{2}$ . Karena keterbatasan dana, akhirnya yang akan dibangun paling banyak 125 unit rumah saja, maka
1) berapa banyak rumah tipe A dan tipe B yang harus dibangun sesuai dengan kondisi luas tanah yang tersedia dan jumlah rumah yang akan dibangun oleh pak Ahmad
2) gambarkanlah daerah penyelesaian pada koordinat kartesius berdasarkan batasan-batasan yang telah diberikan
Jawab:
Dimisalkan: x : banyak rumah tipe A yang segera dibangun
y : banyak rumah tipe B yang segera dibangun
1) Banyaknya rumah tipe A dan tipe B yang akan dibangun

Dari soal diketahui luas bidang tanahnya adalah 10.000 $m^{2}$ , maka model matematikanya adalah $100x+75y\leq 10.000$ . Selanjutnya kita sederhanakan menjadi $4x+3y=400$ …………………………….(1)
Dan jumlah rumah yang segera dibangun, dimodelkan sebagai $x+y\leq 125$ …………………………………..(2)
Sebagai tambahannya, baik x dan y minimal adalah nol (kondisi dimana apabila kedua tipe rumah tersebut tidak jadi dibangun)

Sehingga dengan eliminasi dan substitusi, maka

$\left\{\begin{matrix} 4x & + &3y & = & 400 \\ x & + & y & = & 125 \end{matrix}\right.$

Dengan mengalikan x + y = 125 dengan 3 kemudian dieliminasikan ke 4x + 3y = 400 diperoleh
$x=25$ untuk $x=25$ , maka $y=125-x=125-25=100$
Hal ini menunjukkan bahwa pak Ahmad dapat membangun rumah tipe A sebanyak 25 unit dan rumah tipe B sebanyak 100 unit.
2) Untuk gambar grafiknya pada bidang kartesius, kita perlu menentukan beberapa titik potong
untuk persamaan garis $4x+3y=400$ maka $y=\frac{400-4x}{3}$
$\begin{tabular} {|r|c|c|}\hline x&0&100\\\hline y&133,3&0\\\hline (x,y)&(0,133,3)&(100,0)\\\hline\end{tabular}$ untuk persaman $x+y=125$ maka $y=125-x$
$\begin{tabular} {|r|c|c|}\hline x&0&125\\\hline y&125&0\\\hline (x,y)&(0,125)&(125,0)\\\hline\end{tabular}$ Selanjutnya buatlah titik uji, misalkan saja titik (0,0), kemudian kita substitusikan ke pertidaksamaan $4x+3y\leq 400$ maupun $x+y\leq 125$ . Kalau hasilnya memenuhi maka daerah titik (0,0) termasuk penyelesaian.
Silahkan kamu memasukkan titik uji yang lain
Dan akhirnya kita akan mendapatkan gambar grafik diagram kartesius sebagai berikut:

Matematika asik

Rabu, 28 September 2016

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier

Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier

Tidak ada komentar: