Persamaan dan Pertidaksamaan Linier

Rangkuman Materi

Sistem Persamaan Linear

A.    Persamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel.

·         Pernyataan adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benar atau bernilai salah).

·         Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya.

·         Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar.

·         Persamaan adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=). 

·         Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah ax + b = 0.

·         Penyelesaian persamaan linear adalah pengganti variabel x yang menyebabkan persamaan bernilai benar.

·         Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda .

·         Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara:

a.       Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama;

b.      Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

·         Bentuk Persamaan sebagai berikut :

·         Suatu ketidaksamaan selalu ditandai dengan salah satu tanda hubung berikut.

a.       untuk menyatakan kurang dari.

b.      untuk menyatakan lebih dari.

c.       untuk menyatakan tidak lebih dari atau kurang dari atau sama dengan.

d.      untuk menyatakan tidak kurang dari atau lebih dari atau sama dengan.

·         Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ketidaksamaan .

·         Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel, dapat dilakukan dalam dua cara sebagai berikut.

a.       Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh
dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidaksamaan
dengan tanda “=”.

b.      Menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen.

B.   Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Peubah / Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel secara umum adalah sistem persamaan dalam bentuk :

a₁x + b₁y = k₁

a₂x + b₂y = k₂

sehingga persamaan linear tersebut dapat diselesaikan jika a1.b2 ¹ a2.b1 sehingga persamaan linear tersebut mempunyai titik potong di (x1,y1).

Untuk menyelesaikan / menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variable dapat digunakan beberapa cara antara lain sebagai berikut :

1.      Metode subsitusi

2.      Metode eliminasi

3.      Metode gabungan antara eliminasi dan subsitusi

1.      Metode Subsitusi

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear   2x + 3y = 2.....(1)

  x + y = 1 .....(2)

Jawab :

Dari persamaan x – y = 1 didapat x = 1 + y

2x + 3y = 2   → 2(y + 1) + 3y = 1 + y

x = y + 1             2y + 2 + 3y = 2

     5y = 0

       y = 0

y = 0 → x = 1 + y

  x = 1 + 0

  x = 1

jadi himpunan penyelesaiannya = {1, 0}

2.      Metode Eliminasi

Dengan metode eliminasi tentukan himpunan penyelesaian dari

2x + 3y = 6

2x + y = -2

Jawab :

2x + 3y = 6

2x + y = -2   -

2y = 8

y = 4

2x + 3y = 6  │x 1 → 2x + 3y = 6

2x + y = -2  │x 3 → 6x + 3y = -6  -                             

     -4x = 12

        x = -3

Jadi penyelesaiannya x = -3, y = 4

HP = {-3, 4}

3.      Metode gabungan eliminasi dan subsitusi

Dengan metode eliminasi dan subsitusi tentukan himpunan penyelesaian dari

3x + 4y = -1

x - y = 2

Jawab :

3x + 4y = -1    │x 1 → 3x + 4y = -1

x - y = 2           │x 3 → 3x - 3y = 6   -

7y = -7

y = -1

y = -1 → x – y      = 2

    x – (-1)  = 2

    x            = 2 – 1

    x            = 1

Jadi himpunan penyelesaiannya ={1, -1}

C.   Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Peubah / Variabel

1.      Metode Subsitusi

Contoh :

Dengan metode subsitusi tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut !

2x + y - z = 3 ....(1)

x + y + z = 1 ....(2)

x – 2y – 3z = 4 ....(3)      

Jawab :

Dari persamaan (2) x + y + z = 1 → x = 1 – y – z ....(4)

(4 dan 1) →     2x + y – z               = 3

2(1 – y – z) + y – z = 3

2 – 2y – 2z + y – z = 3

                  -y – 3z = 1

               y = -3z – 1 ....(5)

(3 dan 4) →     x – 2y – 3z            = 4

1 – y – z – 2y – 3z = 4

                -3y – 4z = 3 ....(6)

(5 dan 6) →     -3y – 4z             = 3

-3 (-3z – 1) – 4z = 3

                    9z + 3 – 4z = 3

5z = 0

z = 0 ....(7)

untuk z = 0 disubsitusikan ke persamaan (5)

y = -3z – 1

y = -3(0) – 1

y = -1

untuk z = 0, y = -1, disubsitusikan ke persamaan (2)

x + y + z = 1

x – 1 + 0 = 1

x = 2

Jadi himpunan penyelesaiannya {(2, -1, 0)}

2.      Metode eliminasi dan subsitusi atau gabungan

Contoh :

Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut!

2x – y - 2z = -1 ....(1)

3x + 2y – z = 10 ....(2)

4x – y - 3z = - 3 ....(3)

Jawab

Dari persamaan (1) dan (3)

2x – y + 2z = -1  │ x 2 → 4x – 2y + 4z = -2

-4x – y – 3z = -3 │ x 1 → -4x – y – 3z = -3 +

-3y + z = -5 .... (4)

Dari persamaan (2) dan (3)

3x – 2y + z = 10 │ x 4 → 12x + 8y - 4z = 40

-4x – y – 3z = -3 │ x 3 → -12x – 3y – 9z = -9 +

5y – 13z = 31 .... (5)

Dari persamaan (4) dan (5)

-3y + z = -5     │ x 13 → -39y + 13z = -65

-3y(1) + z = -5 │ x 1 →      5y – 13z = 31 +

-34y = -34 .... (5)

     y = 1

y = 1 disubsitusikan ke persamaan (4)

-3y + z = -5

-3(1) + z = -5

z = -5 + 3

z = -2

untuk y = 1, z = -2 disubsitusikan ke persamaan (1)

2x – y + 2z = -1

2x – 1 + 2(-2) = -1

2x – 5 = -1

      2x = -1 + 5

      2x = 4

        x = 2

Jadi himpunan penyelesaiannya {(2, 1, -2)}